【题目】设某物体一天中的温度
是时间
的函数，已知
，其中温度的单位是
，时间的单位是小时，规定中午12：00相应的
，中午12：00以后相应的
取正数，中午12：00以前相应的
取负数（例如早上8：00相应的
，下午16：00相应的
），若测得该物体在中午12：00的温度为
，在下午13：00的温度为
，且已知该物体的温度在早上8：00与下午16：00有相同的变化率.
（1）求该物体的温度
关于时间
的函数关系式；
（2）该物体在上午10：00至下午14：00这段时间中（包括端点）何时温度最高？最高温度是多少？
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）在上午11:00与下午14:00该物体温度最高，最高温度是62.℃.
【解析】试题分析：（1）由题意可得当
时， 
； 当
时， 
； 
，由此求得待定系数
的值，可得函数的解析式．
（2）利用导数研究函数的单调性，由单调性求得函数的最大值，从而得出结论．
试题解析：
（Ⅰ）求导函数可得
，
∵该物体的温度在早上8:00与下午16:00有相同的变化率
∴
，∴
，∴
∴
∵该物体的温度在中午12:00的温度是60℃，下午13:00的温度为58℃
∴
∴
∴
（Ⅱ）
令
可得
或
；令
可得
∴函数在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增
∵
∴
或
时， 
取得最大值62.
说明在上午11:00与下午14:00该物体温度最高，最高温度是62.℃.
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【题目】选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系
中，直线
的参数方程是
（
为参数）.以坐标原点
为极点，以
轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线
的极坐标方程是
.
（1）求直线
的普通方程和曲线
的直角坐标方程；
（2）设点
，若直线
与曲线
交于
， 
两点，且
，求实数
的值.
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【题目】在直角坐标系
中，曲线
的参数方程为： 
(
为参数)，以原点
为极点， 
轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
.
(1)求直角坐标系下曲线
与曲线
的方程；
(2)设
为曲线
上的动点，求点
到
上点的距离的最大值，并求此时点
的坐标.
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【题目】选修4-4：坐标系与参数方程
已知圆
的参数方程为
（
为参数），若
是圆
与
轴正半轴的交点，以坐标原点
为极点，以
轴正半轴为极轴，建立极坐标系，设过点
的圆
的切线为
.
（1）求直线
的极坐标方程；
（2）求圆
上到直线
的距离最大的点的直角坐标.
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【题目】计划在某水库建一座至多安装
台发电机的水电站，过去
年的水文资料显示，水库年入流量
（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和．单位：亿立方米）都在40以上，不足
的年份有
年，不低于
且不超过
的年份有
年，超过
的年份有
年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，假设各年的年入流量相互独立．
（1）求未来
年中，设
表示流量超过
的年数，求
的分布列及期望；
（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量
限制，并有如下关系：
年入流量 |
|
|
|
发电机最多可运行台数 |
|
|
|
若某台发电机运行，则该台年利润为
万元，若某台发电机未运行，则该台年亏损
万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？
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