Question

已知正项数列{a_n}，其前n项和S_n满足10S_n=a_n²+5a_n+6，且a₁，a₃，a₁₅成等比数列，求数列{a_n}的通项a_n．

Answer 1

分析：由已知中前n项和S_n满足10S_n=a_n²+5a_n+6，令n=1，我们可以求出a₁，根据a_n=S_n-S_n-1，我可可以得到a_n与a_n-1的关系式，结合a₁，a₃，a₁₅成等比数列，我们分类讨论后，即可得到满足条件的a₁及a_n与a_n-1的关系，进而求出数列{a_n}的通项a_n．

解答：解：∵10S_n=a_n²+5a_n+6，①
∴10a₁=a₁²+5a₁+6，
解之得a₁=2或a₁=3．
又10S_n-1=a_n-1²+5a_n-1+6（n≥2），②
由①-②得 10a_n=（a_n²-a_n-1²）+5（a_n-a_n-1），
即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-5）=0
∵a_n+a_n-1＞0，∴a_n-a_n-1=5 （n≥2）．
当a₁=3时，a₃=13，a₁₅=73． a₁，a₃，a₁₅不成
等比数列∴a₁≠3；
当a₁=2时，a₃=12，a₁₅=72，有 a₃²=a₁a₁₅，
∴a₁=2，∴a_n=5n-3．

点评：本题考查的知识点是数列的通项公式，数列的函数特征，其中在已知中包含有S_n的表达式，求通项a_n时，a_n=S_n-S_n-1（n≥2）是最常用的办法．