Question

如图，P是正四面体V-ABC的面VBC上一点，点P到平面ABC距离与到点V的距离相等，则动点P的轨迹是（ ）

A．直线
B．抛物线
C．离心率为的椭圆
D．离心率为3的双曲线

Answer 1

【答案】分析：由题设条件将点P到平面ABC距离与到点V的距离相等转化成在面VBC中点P到V的距离与到定直线BC的距离比是一个常数，依据圆锥曲线的第二定义判断出其轨迹的形状．
解答：解：∵正四面体V-ABC∴面VBC不垂直面ABC，过P作PD⊥面ABC于D，过D作DH⊥BC于H，连接PH，
可得BC⊥面DPH，所以BC⊥PH，故∠PHD为二面角V-BC-A的平面角令其为θ
则Rt△PGH中，|PD|：|PH|=sinθ（θ为V-BC-A的二面角的大小）．
又点P到平面ABC距离与到点V的距离相等，即|PV|=|PD|
∴|PV|：|PH|=sinθ＜1，即在平面VBC中，点P到定点V的距离与定直线BC的距离之比是一个常数sinθ，
又在正四面体V-ABC，V-BC-A的二面角的大小θ有：sinθ=＜1，
由椭圆定义知P点轨迹为椭圆在面SBC内的一部分．
故选C．
点评：考查二面角、椭圆的定义、轨迹方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．