Question

8．已知0（0，0），A（3，0），B（0，4），P是△OAB的内切圆上一动点，则以PO、PA、PB为半径的三个圆面积之和的最大值为（　　）

• A． 10π
• B． 12π
• C． 22π
• D． 25π

Answer 1

分析 由题意可得内切圆的方程为（x-1）²+（y-1）²=1，可得3x²+3y²-6x-6y+3=0，整体代入|PA|²+|PB|²+|PO|²=-2y+22，由函数的思想可得最值．

解答 解：设△OAB内切圆的圆心为（a，a）
∵0（0，0），A（3，0），B（0，4），
∴|OA|=3，|OB|=4，|AB|=5，
由等面积可得$\frac{1}{2}×3×4$=$\frac{1}{2}$（3+4+5）a，解得a=1
∴△OAB内切圆的圆心为（1，1），半径为1，
∴△OAB内切圆方程为（x-1）²+（y-1）²=1；
∵点P是△ABO内切圆上一点，设P（x，y）
则（x-1）²+（y-1）²=1，
∴x²+y²-2x-2y+1=0，
∴3x²+3y²-6x-6y+3=0，
∴|PA|²+|PB|²+|PO|²=（x-3）²+y²+x²+（y-4）²+x²+y²
=3x²+3y²-6x-8y+25=3x²+3y²-6x-6y+3-2y+22=-2y+22
∴|PA|²+|PB|²+|PC|²=-2y+22，（0≤y≤2），
∴y=0时上式取最大值22，
∴PO、PA、PB为半径的三个圆面积之和的最大值为π（|PA|²+|PB|²+|PC|²）=22π．
故选：C．

点评 本题考查直线和圆的位置关系，涉及等面积和整体思想，属中档题．