Question

（2009•济宁一模）某甲有一个放有3个红球、2个白球、1个黄球共6个球的箱子；某乙也有一个放有3个红球、2个白球、1个黄球共6个球的箱子．
（Ⅰ）若甲在自己的箱子里任意取球，取后不放回，每次只取一个球，直到取到红球为止，求甲取球次数ξ的数学期望；
（Ⅱ）若甲、乙两人各从自己的箱子里任取一球比颜色，规定同色时为甲胜，异色时为乙胜，这个游戏规则公平吗？请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意知甲取球次数ξ的取值为1，2，3，4，分别求出其发生的概率，进而求出次数ξ的数学期望．
（Ⅱ）由题意可得，求出两人各自从自己箱子里任取一球不同的取法，以及是同色球的取法，再根据等可能事件的概率可得答案．

解答：解：（Ⅰ）由题意知甲取球次数ξ的取值为1，2，3，4
所以P(ξ=1)=

3

6

=

1

2

；P(ξ=2)=

3×3

6×5

=

3

10

；P(ξ=3)=

3×2×3

6×5×4

=

3

20

；
P(ξ=4)=

3×2×1×3

6×5×4×3

=

1

20

…（4分）
则甲取球次数ξ的数学期望为：
Eξ=1×

1

2

+2×

3

10

+3×

3

20

+4×

1

20

=

7

20

…（6分）
（Ⅱ）由题意，两人各自从自己箱子里任取一球比颜色共有C₆¹•C₆¹=36（种） 不同的情形…（8分）
每种情形都是等可能的，记甲获胜为事件A，则P(A)=

C 1 3 C 1 3 + C 1 2 C 1 2 + 1

36

=

7

18

＜

1

2

…（11分）
所以甲获胜的概率小于乙获胜的概率，这个游戏规则不公平．…（12分）

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握离散型随机变量的期望与方差的有关公式，以及掌握等可能事件的概率．