Question

【题目】已知函数f（x）=x﹣1+ （a∈R，e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值；
（Ⅲ）当a=1的值时，若直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点，求k的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由f（x）=x﹣1+ ，得f′（x）=1﹣ ， 又曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，
∴f′（1）=0，即1﹣ =0，解得a=e．
（Ⅱ）f′（x）=1﹣ ，
①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）为（﹣∞，+∞）上的增函数，所以f（x）无极值；
②当a＞0时，令f′（x）=0，得ex=a，x=lna，
x∈（﹣∞，lna），f′（x）＜0；x∈（lna，+∞），f′（x）＞0；
∴f（x）在∈（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，
故f（x）在x=lna处取到极小值，且极小值为f（lna）=lna，无极大值．
综上，当a≤0时，f（x）无极值；当a＞0时，f（x）在x=lna处取到极小值lna，无极大值．
（Ⅲ）当a=1时，f（x）=x﹣1+ ，令g（x）=f（x）﹣（kx﹣1）=（1﹣k）x+ ，
则直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点，
等价于方程g（x）=0在R上没有实数解．
假设k＞1，此时g（0）=1＞0，g（ ）=﹣1+ ＜0，
又函数g（x）的图象连续不断，由零点存在定理可知g（x）=0在R上至少有一解，
与“方程g（x）=0在R上没有实数解”矛盾，故k≤1．
又k=1时，g（x）= ＞0，知方程g（x）=0在R上没有实数解，
所以k的最大值为1．
【解析】（Ⅰ）依题意，f′（1）=0，从而可求得a的值；（Ⅱ）f′（x）=1﹣ ，分①a≤0时②a＞0讨论，可知f（x）在∈（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，从而可求其极值；（Ⅲ）令g（x）=f（x）﹣（kx﹣1）=（1﹣k）x+ ，则直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点方程g（x）=0在R上没有实数解，分k＞1与k≤1讨论即可得答案．
【考点精析】本题主要考查了函数的极值与导数的相关知识点，需要掌握求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能正确解答此题．