Question

6．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，CC₁=4，M是棱CC₁的中点．
（1）求证：BC⊥AM；
（2）若N是AB的中点，求证CN∥平面AB₁M．

Answer 1

分析 （1）通过证明BC⊥C₁C，BC⊥AC，推出BC⊥平面ACC₁A₁，然后证明BC⊥AM．
（2）取AB₁的中点P，连接MP，NP，证明NP∥B B₁，推出NP∥CM，然后证明CN∥平面AB₁M．

解答 （1）证明：∵ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，
∴C₁C⊥平面ABC，∴BC⊥C₁C，
又BC⊥AC，∴BC⊥平面ACC₁A₁，
∵AM在平面ACC₁A₁上，∴BC⊥AM． …（6分）
（2）证明：取AB₁的中点P，连接MP，NP，
∵P为A B₁中点，N为AB中点，∴NP为△AB B₁的中位线，∴NP∥B B₁，
又∵C₁C，B₁B都是直三棱柱的棱，∴C₁C∥B₁B，M是棱CC₁的中点，∴MC∥B₁B，
∴NP∥CM，NP=$\frac{1}{2}$BB₁=$\frac{1}{2}$CC₁=CM，
∴NP$\underset{∥}{=}$CM，四边形CNPM为平行四边形，
∴NC∥PM，∴CN∥平面AB₁M…（14分）

点评 本题考查直线与平面垂直的性质定理的应用，直线与平面平行的判定定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．