Question

随机地把一根长度为8的铁丝截成3段．
（1）若要求三段的长度均为正整数，求恰好截成三角形三边的概率．
（2）若截成任意长度的三段，求恰好截成三角形三边的概率．

Answer 1

分析：（1）本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件数为21种情况，可以列举出所有结果，满足条件的事件是能构成三角形的情况有3种情况：（2，3，3），（3，2，3），（3，3，2），根据古典概型概率公式得到结果．
（2）设出第一段为x，第二段为y，则第三段为8-x-y，写出试验发生包含的事件对应的不等式组，和满足条件的事件对应的不等式组，做出对应的面积，面积之比就是要求的概率．

解答：解：（1）由题意知本题是一个古典概型，
试验发生包含的基本事件数为21种情况，可以列举出所有结果：
（1，1，6），（1，2，5），（1，3，4），（1，4，3），
（1，5，2），（1，6，1），（2，1，5），（2，2，4），
（2，3，3），（2，4，2），（2，5，1），（3，1，4），
（3，2，3），（3，3，2），（3，4，1），（4，1，3），
（4，2，2），（4，3，1），（5，1，2），（5，2，1），
（6，1，1），
满足条件的事件是能构成三角形的情况有3种情况：
（2，3，3），（3，2，3），（3，3，2）．
∴所求的概率是P(A)=

3

21

=

1

7

（2）设把铁丝分成任意的三段，其中第一段为x，
第二段为y，则第三段为8-x-y则：

x＞0 y＞0 x+y＜8

如果要构成三角形，则必须满足：

x＞0 y＞0 x+y＞8-x-y x+8-x-y＞y y+8-x-y＞x

?

x＞0 y＞0 x+y＞4 y＜4 x＜4

∴所求的概率为P(A)=

1 2 ×16

1 2 ×64

=

1

4

点评：古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积、的比值得到．