Question

10．在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，过A₁、C₁、B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD-A₁C₁D₁，且这个几何体的体积为$\frac{5}{3}$．则长方体外接球的表面积是6π．

Answer 1

分析 已知几何体ABCD-A₁C₁D₁的体积为$\frac{5}{3}$，利用等体积法V_ABCD-A1C1D1=V_{ABCD-A1B1C1D1}-V_B-A1B1C1，求出A₁A，求出长方体的对角线长，即可求出长方体外接球的表面积．

解答 解：设A₁A=h，∵几何体ABCD-A₁C₁D₁的体积为$\frac{5}{3}$，
∴V_ABCD-A1C1D1=V_{ABCD-A1B1C1D1}-V_B-A1B1C1=$\frac{5}{3}$，
即S_ABCD×h-$\frac{1}{3}$×S△A₁B₁C₁×h=$\frac{5}{3}$，
即1×1×h-$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×1×1×h=$\frac{5}{3}$，解得h=2．
∴A₁A的长为2．
∴长方体的对角线长$\sqrt{1+1+4}$=$\sqrt{6}$，
∴长方体的外接球的半径为$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴长方体外接球的表面积是4$π•\frac{6}{4}$=6π．
故答案为：6π．

点评 本题考查长方体外接球的表面积，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．