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已知数列{an},Sn是其前n项的和,且an=7Sn-1-1(n≥2),a1=2.
(I)求数列{an}的通项公式;
(II)设数学公式,Tn=bn+1+bn+2+…+b2n,是否存在最小的正整数k,使得对于任意的正整数n,有数学公式恒成立?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.

解:(I)由已知an=7Sn-1-1①an+1=7Sn-1②
②-①,得an+1-an=7(Sn-Sn-1)=7an(n≥2)(2分)
∴an+1=8an,又a1=2,所以数列{an}是一个以2为首项,8为公比的等比数列
∴an=2•8n-1=23n-2;(4分)
(II),(5分)

,(7分)
=
∵n∈N*,∴n≥1,即-3n+1<0
∴Tn+1-Tn<0,Tn+1<Tn,即数列{Tn}是一个单调递减数列,又
∴Tn,若恒成立,则,即k>3(13分)
又k是正整数,故最小正整数k为4.(14分)
分析:(I)由题设条件知an+1-an=7(Sn-Sn-1)=7an(n≥2),所以an=2•8n-1=23n-2;(4分)
(II)由,知,由此入手能够求出k的值.
点评:本题考查数列的综合运用,解题时要认真审题,仔细解答.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知数列{an}的首项a1=
3
5
an+1=
3an
2an+1
,n=1,2,…

(1)求证:数列{
1
an
-1}
为等比数列;
(2)记Sn=
1
a1
+
1
a2
+…
1
an
,若Sn<100,求最大的正整数n.
(3)是否存在互不相等的正整数m,s,n,使m,s,n成等差数列且am-1,as-1,an-1成等比数列,如果存在,请给出证明;如果不存在,请说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知数列{an}是以d为公差的等差数列,数列{bn}是以q为公比的等比数列.
(1)若数列{bn}的前n项的和为Sn,且a1=b1=d=2,S3<a1003+5b2,求整数q的值;
(2)在(1)的条件下,试问数列{bn}中是否存在一项bk,使得bk恰好可以表示为该数列中连续p(p∈N,p≥2)项的和?请说明理由;
(3)若b1=a1,b2=as≠arb3=at,(其中t>s>r,且(s-r)是(t-r)的约数),求证:数列{bn}中每一项都是数列{an}中的项.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知数列{an}的通项公式为an=n•2n,为了求数列{an}的和,现已给出该问题的算法程序框图.
(Ⅰ)请在图中执行框①②处填上适当的表达式,使该算法完整;
(Ⅱ)求n=4时,输出S的值;
(Ⅲ)根据所给循环结构形式的程序框图,写出程序语言.

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科目:高中数学 来源:2014届福建省高二下学期期中考试理科数学试卷(解析版) 题型:解答题

已知数列{an}满足S n + a n= 2n +1.

(1)写出a1a2a3, 并推测a n的表达式;

(2)用数学归纳法证明所得的结论.

 

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科目:高中数学 来源: 题型:

(08年唐山市一中调研一理) 已知数列{an}满足S n=,则=                                   (    )

A.1                      B.-1                       C.2                     D.-2

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