Question

定义在R上的函数f（x）满足，对于任意α、β∈R，总有f（α+β）-f（α）-f（β）=2013，则下列说法正确的是（　　）

• A、y=f（x）-2013是偶函数
• B、y=f（x）+2013是偶函数
• C、y=f（x）-2013是奇函数
• D、y=f（x）+2013是奇函数

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：取α=β=0，得f（0）=-2013；再取α=x，β=-x，代入整理可得f（-x）+2013=-[f（x）-f（0）]=-[f（x）+2013]，即可得到结论．

解答： 解：取α=β=0，得f（0）=-2013，
取α=x，β=-x，f（0）-f（x）-f（-x）=2013，
即f（-x）+2013=-[f（x）-f（0）]=-[f（x）+2013]
故函数f（x）+2013是奇函数．
故选：D．

点评：本题考查函数奇偶性的判断，解决抽象函数奇偶性的判断问题时采用赋值法是关键，属于中档题．