设正数数列的前项和为,且对任意的,是和的等差中项.(1)求数列的通项公式;
(2)在集合,,且中,是否存在正整数,使得不等式对一切满足的正整数都成立?若存在,则这样的正整数共有多少个?并求出满足条件的最小正整数的值;若不存在,请说明理由;
(3)请构造一个与数列有关的数列,使得存在,并求出这个极限值.
(1)() (2)共有个,的最小值为
(3)2
解:(1)由题意得, ①,
当时,,解得,……(1分)
当时,有 ②,
①式减去②式得,
于是,,,……(2分)
因为,所以,
所以数列是首项为,公差为的等差数列,……(3分)
所以的通项公式为().……(4分)
(2)设存在满足条件的正整数,则,,
,……(6分)
又,,…,,,,…,,
所以,,…,均满足条件,
它们组成首项为,公差为的等差数列.……(8分)
设共有个满足条件的正整数,则,解得.……(10分)
所以,中满足条件的正整数存在,共有个,的最小值为.……(12分)
(3)设,即,……(15分),
则
,其极限存在,且
.……(18分)
注:(为非零常数),(为非零常数),
(为非零常数,)等都能使存在.
按学生给出的答案酌情给分,写出数列正确通项公式的得3分,求出极限再得3分.
科目:高中数学 来源:2012届山东省曲阜师大附中高三9月月考理科数学 题型:解答题
.(本小题满分12分)已知数列的各项均是正数,其前项和为,满足,其中为正常数,且
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设,数列的前项和为,求证:
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科目:高中数学 来源:2013届浙江省高二下学期第一次质检理科数学试卷(解析版) 题型:解答题
设正数数列的前项和为,且,
(Ⅰ)试求,,
(Ⅱ)猜想的通项公式,并用数学归纳法证明
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年山东省高三9月月考理科数学 题型:解答题
.(本小题满分12分)已知数列的各项均是正数,其前项和为,满足,其中为正常数,且
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设,数列的前项和为,求证:
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