Question

已知函数f(x)=

1+x

1-x

e-ax．
（Ⅰ）设a＞0，讨论y=f（x）的单调性；
（Ⅱ）若对任意x∈（0，1）恒有f（x）＞1，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据分母不为0得到f（x）的定义域，求出f'（x），利用a的范围得到导函数的正负讨论函数的增减性即可得到f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对任意x∈（0，1）恒有f（x）＞1即要讨论当0＜a≤2时，当a＞2时，当a≤0时三种情况讨论得到a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（-∞，1）∪（1，+∞）．对f（x）求导数得f'（x）=

ax2+2-a

(1-x)2

e^-ax．
（ⅰ）当a=2时，f'（x）=

2x2

(1-x)2

e^-2x，f'（x）在（-∞，0），（0，1）和（1，+∞）均大于0，
所以f（x）在（-∞，1），（1，+∞）为增函数．
（ⅱ）当0＜a＜2时，f'（x）＞0，f（x）在（-∞，1），（1，+∞）为增函数．
（ⅲ）当a＞2时，0＜

a-2

a

＜1，令f'（x）=0，
解得x₁=-

a-2 a

，x₂=

a-2 a

．
当x变化时，f′（x）和f（x）的变化情况如下表：

x	(-∞，- a-2 a )	(- a-2 a ， a-2 a )	( a-2 a ，1)	（1，+∞）
f′（x）	+	-	+	+
f（x）	↑	↓	↑	↑

f（x）在（-∞，-

a-2 a

），（

a-2 a

，1），（1，+∞）为增函数，f（x）在（-

a-2 a

，

a-2 a

）为减函数．
（Ⅱ）（ⅰ）当0＜a≤2时，由（Ⅰ）知：对任意x∈（0，1）恒有f（x）＞f（0）=1．
（ⅱ）当a＞2时，取x₀=

1

2

a-2 a

∈（0，1），则由（Ⅰ）知f（x₀）＜f（0）=1
（ⅲ）当a≤0时，对任意x∈（0，1），恒有

1+x

1-x

＞1且e^-ax≥1，得f（x）=

1+x

1-x

e^-ax≥

1+x

1-x

＞1．
综上当且仅当a∈（-∞，2]时，对任意x∈（0，1）恒有f（x）＞1．

点评：考查学生利用导数研究函数单调性的能力，理解函数恒成立时所取的条件．