Question

7．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，并且a₂=2，S₅=15，数列{b_n}满足：b₁=$\frac{1}{2}$，b_n+1=$\frac{n+1}{2n}$b_n，记数列{b_n}的前n项和为T_n．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式及前n项和；
（2）记集合M={n|$\frac{2{S}_{n}（2-{T}_{n}）}{n+2}$≥λ，n∈N⁺}，若M中的元素个数为4，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的通项公式及前n项和公式即可得出数列{a_n}的通项公式及前n项和；由题意得$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{2}•\frac{n+1}{n}$，叠乘得能求出{b_n}的通项公式，再利用错位相减法能求出数列{b_n}的前n项和．
（2）由已知得$\frac{2{S}_{n}（2-{T}_{n}）}{n+2}$=$\frac{{n}^{2}+n}{{2}^{n}}$，令$f（n）=\frac{{n}^{2}+n}{{2}^{n}}$，n≥3时，f（n）单调递减．由于集合M的元素个数为4，由此能求出结果．

解答 解：（1）设数列{a_n}的公差为d，
∵等差数列{a_n|的前n项和为S_n，并且a₂=2，S₅=15，
由题意得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=2}\\{5{a}_{1}+10d=15}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{d=1}\end{array}\right.$，
∴a_n=n，
∴${S}_{{\;}_{n}}$=$n+\frac{n（n-1）}{2}$=$\frac{{n}^{2}+n}{2}$．
∵数列{b_n}满足：b₁=$\frac{1}{2}$，b_n+1=$\frac{n+1}{2n}$b_n，
∴由题意得$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{2}•\frac{n+1}{n}$，
叠乘得b_n=$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n-1}}$×$\frac{{b}_{n-1}}{{b}_{n-2}}$×…×$\frac{{b}_{2}}{{b}_{1}}×{b}_{1}$
=（$\frac{1}{2}$）ⁿ×$\frac{n}{n-1}×\frac{n-1}{n-2}×…×\frac{2}{1}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$．
数列{b_n}的前n项和：
T_n=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}+…+\frac{n}{{2}^{n}}$，①
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{2}{{2}^{3}}+\frac{3}{{2}^{4}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n}}+\frac{n}{{2}^{n+1}}$，②
②-①得：$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+…+\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$
=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$
=1-$\frac{n+2}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$．
（2）∵集合M={n|$\frac{2{S}_{n}（2-{T}_{n}）}{n+2}$≥λ，n∈N⁺}，
∴由（1）得$\frac{2{S}_{n}（2-{T}_{n}）}{n+2}$=$\frac{{n}^{2}+n}{{2}^{n}}$，令$f（n）=\frac{{n}^{2}+n}{{2}^{n}}$，
则f（1）=1，f（2）=$\frac{3}{2}$，f（3）=$\frac{3}{2}$，f（4）=$\frac{5}{4}$，$f（5）=\frac{15}{16}$．
下面研究数列f（n）=$\frac{{n}^{2}+n}{{2}^{n}}$的单调性，
∵f（n+1）-f（n）=$\frac{（n+1）^{2}+（n+1）}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{n}^{2}+n}{{2}^{n}}$=$\frac{（n+1）（2-n）}{{2}^{n+1}}$，
∴n≥3时，f（n+1）-f（n）＜0，f（n+1）＜f（n），即f（n）单调递减．
∵集合M的元素个数为4，
∴不等式$\frac{{n}^{2}+n}{{2}^{n}}$≥λ，n∈N⁺解的个数为4，
∴$\frac{15}{16}$λ≤1．

点评 本题综合考查了等差数列与等比数列的通项公式及前n项和公式、“叠乘法”、“错位相减法”、数列的单调性、集合的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．