Question

已知双曲线

x2

6

-

y2

2

=1，
（1）求以双曲线的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆E的方程．
（2）点P在椭圆E上，点C（2，1）关于坐标原点的对称点为D，直线CP和DP的斜率都存在且不为0，试问直线CP和DP的斜率之积是否为定值？若是，求此定值；若不是，请说明理由．
（3）平行于CD的直线l交椭圆E于M、N两点，求△CMN面积的最大值，并求此时直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）设以双曲线

x2

6

-

y2

2

=1的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆E的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，a＞b＞0，则a²=6+2=8，c²=6，由此能求出椭圆E的方程．
（2）依题意得D点的坐标为（-2，-1），且D点在椭圆E上，直线CP和DP的斜率K_CP和K_DP均存在，设P（x，y），则kCP=

y-1

x-2

，kDP=

y+1

x+2

，由此能推导出直线CP和DP的斜率之积为定值-

1

4

．
（3）直线CD的斜率为

1

2

，CD平行于直线l，设直线l的方程为y=

1

2

x+t，由

y= 1 2 x+t x2 8 + y2 2 =1

，得x²+2tx+2t²-4=0，△=4t²-4（2t²-4）＞0，解得t²＜4，由此能求出△CMN面积的最大值和此时直线l的方程．

解答：解：（1）∵双曲线

x2

6

-

y2

2

=1的顶点为（±

6

，0），焦点为（±2

2

，0），
设以双曲线的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆E的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，a＞b＞0，
则a²=6+2=8，c²=6，
∴椭圆E的方程为

x2

8

+

y2

2

=1．…（3分）
（2）依题意得D点的坐标为（-2，-1），
且D点在椭圆E上，直线CP和DP的斜率K_CP和K_DP均存在，设P（x，y），
则kCP=

y-1

x-2

，kDP=

y+1

x+2

，
∴kCP•kDP=

y-1

x-2

•

y+1

x+2

=

y2-1

x2-4

，…（5分）
∵点Q在椭圆E上，∴x²=8-4y²，k_CP•k_DP=

y2-1

x2-4

=-

1

4

．
∴直线CP和DP的斜率之积为定值-

1

4

．…（7分）
（3）∵直线CD的斜率为

1

2

，CD平行于直线l，
设直线l的方程为y=

1

2

x+t，
由

y= 1 2 x+t x2 8 + y2 2 =1

，消去y，整理得x²+2tx+2t²-4=0，
△=4t²-4（2t²-4）＞0，解得t²＜4，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-2tx₁•x₂=2t²-4．…（10分）
∴|MN|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

1+( 1 2 )2

•|x1-x2|
=

1+( 1 2 )2

(x1+x2)2-4x1x2

=

5

•

4-t2

，-2＜t＜2．…（11分）
点C到直线MN的距离为d=

|t|

1 4 +1

=

2|t|

5

，…（12分）
∴S△CMN=

1

2

|MN|•d
=

1

2

•

5

•

4-t2

•

2|t|

5

=|t|•

4-t2

=

t2(4-t2)

≤

( t2+4-t2 2 )2

=

4

2

=2．
当且仅当t²=4-t²，即t²=2时，取等号．…（13分）
∴△CMN面积的最大值为2，此时直线l的方程为y=

1

2

x±

2

．…（14分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积最大值的求法及此时直线方程的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意点到直线的距离公式的灵活应用．