Question

求证：（1）

1-2sinxcosx

cos2x-sin2x

=

1-tanx

1+tanx

．
（2）tan²α-sin²α=tan²α•sin²α
（3）（cosβ-1）²+sin²β=2-2cosβ
（4）sin⁴x+cos⁴x=1-2sin²xcos²x．

Answer 1

考点：三角函数恒等式的证明

专题：三角函数的求值

分析：（1）直接利用平方关系式化简左侧，利用弦切互化证明即可．
（2）利用平方关系式直接证明即可．
（3）展开后利用平方关系式证明即可．
（4）直接利用平方关系式证明即可．

解答： 证明：（1）

1-2sinxcosx

cos2x-sin2x

=

cos2x+sin2x-2sinxcosx

cos2x-sin2x

=

cosx-sinx

cosx+sinx

=

1-tanx

1+tanx

．等式成立．
（2）tan²α-sin²α=

sin2α

cos2α

-sin²α=sin²α

1-cos2α

cos2α

=sin²α•

sin2α

cos2α

=tan²α•sin²α，等式成立．
（3）（cosβ-1）²+sin²β═cos2β-2cosβ+1+sin²β=2-2cosβ，等式成立．
（4）sin⁴x+cos⁴x=sin⁴x+cos⁴x+2sin²xcos²x-2sin²xcos²x=（sin²x+cos²x）²-2sin²xcos²x=1-2sin²xcos²x．等式成立．

点评：本题考查三角恒等式的证明，平方关系式的应用，考查计算能力．