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5.如图,AB是圆O的直径,点C在圆O上,延长BC到D使BC=CD,过C作圆O的切线交AD于E,若AB=8,DC=4,则DE=(  )
A.$\sqrt{2}$B.2C.$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$D.$\frac{4}{3}$

分析 由已知条件,利用圆的性质和弦切角定理及30°角所对直角边等于斜边长一半,推导出△DCE是∠DEC=90°,∠DCE=30°的直角三角形,由此能求出结果.

解答 解:如图,∵AB是圆O的直径,点C在圆O上,
延长BC到D使BC=CD,过C作圆O的切线交AD于E.
∴∠BAC=∠DAC,AC⊥BD,∠ABC=∠ADC=∠ACE,
∴CE⊥AD,
∵AB=8,DC=4,
∴BC=DC=4,∠ABC=∠DCE=30°,
∴DE=$\frac{1}{2}$DC=2.
故选:B.

点评 本题考查与圆有关的线段长的求法,是中档题,解题时要注意弦切角定理的灵活运用.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

5.比较两个数值的大小:
(1)1.72.5<1.73
(2)log0.51.8>log0.52.7.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

16.设抛物线C:y2=4x,过定点(m,0)的直线l与抛物线C交于A、B两点,连结A及抛物线顶点O的直线与准线交于点B′,直线BO与准线交于点A′,且AA′与BB′均平行于x轴.
(1)求m的值;
(2)求四边形ABB′A′面积的最小值.

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科目:高中数学 来源: 题型:选择题

13.如图所示,△ABC内接于圆O,过点A的切线交BC的延长线于点P,D为AB的中点,DP交AC于点M,若BP=8,AM=4,AC=6,则PA=(  )
A.4$\sqrt{2}$B.3$\sqrt{2}$C.$\sqrt{2}$D.5$\sqrt{2}$

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20.已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>b>0)的离心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,直线y=x+1经过椭圆C的左焦点.
(I)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若过点M(2,0)的直线与椭圆C交于A,B两点,设P为椭圆上一点,且满足$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=t$\overrightarrow{OP}$(其中O为坐标原点),求实数t的取值范围.

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10.如图,△ABC中,BC=10,以 BC 为直径的圆分别交 AB,AC于点 E,F.
(1)求证:∠AFE=∠ABC;
(2)若AC=2AE,求EF的长.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

17.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为梯形,AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠ABC=$\frac{π}{3}$,对角面A1ACC1为矩形,平面A1ACC1⊥平面ABCD,CC1=1.
(1)证明:BC⊥平面A1ACC1
(2)点M在线段A1C1上运动,当M点在什么位置时,几何体B1-AMB的体积为$\frac{\sqrt{3}}{12}$?

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科目:高中数学 来源: 题型:选择题

14.有下列4个命题:
①两个平面垂直,过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此直线必垂直于另一平面;
②平面α内两条不平行的直线都平行于另一平面β,则α∥β; 
③两条直线和一个平面所成的角相等,则这两条直线平行;
④直线a不平行于平面α,则平面α内不存在与直线a平行的直线.
其中正确命题的个数是(  )
A.4B.3C.2D.1

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

15.已知椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>b>0)的长轴是短轴的两倍,点P($\sqrt{3}$,$\frac{1}{2}$)在椭圆上.不过原点的直线l与椭圆相交于A、B两点,设直线OA、l、OB的斜率分别为k1、k、k2,且k1、k、k2恰好构成等比数列.
(Ⅰ)求椭圆C的方程.
(Ⅱ)试探究|OA|2+|OB|2是否为定值?若是,求出这个值;否则求出它的取值范围.

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