Question

2．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）．
（1）若该函数的部分图象如图所示，其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π，则该函数f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+$\frac{2π}{3}$）
（2）若A=2，ω=2，φ=0，则该函数图象在区间[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]上与直线y=-2围成封闭图形面积为π．
（3）若A=2，ω＞2，φ=$\frac{π}{3}$，且该函数图象整体在区间[0，$\frac{π}{2}$]上有且只有4条对称轴，则ω取值集合为6≤ω＜8．

Answer 1

分析 （1）由函数图象可得A，周期T，周期公式可求得ω，又点（$\frac{\frac{π}{3}+\frac{π}{2}}{2}$，2）在函数图象上，可得：2sin（2×$\frac{\frac{π}{3}+\frac{π}{2}}{2}$+φ）=-2，结合范围0＜φ＜π，可得φ，从而可求函数解析式．
（2）由已知可得f（x）=2sin2x，数形结合，根据正弦函数的对称性可得，函数y=2sin2x的图象与函数y=-2的图象围成一个封闭图形可转化为以2及$\frac{π}{2}$为边长的矩形，从而可求面积．
（3）由已知可求f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{3}$）．由函数f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{3}$）图象在区间[0，$\frac{π}{2}$]上仅有4条对称轴，可得$\frac{3T}{2}≤\frac{π}{2}＜2T$，利用周期公式即可得解．

解答 解：（1）由函数图象可得：A=2，又周期T=$\frac{5π}{6}$+（$\frac{π}{2}$-$\frac{π}{3}$）=π，
由T=$π=\frac{2π}{ω}$，可解得：ω=2，
又点（$\frac{\frac{π}{3}+\frac{π}{2}}{2}$，2）在函数图象上，可得：2sin（2×$\frac{\frac{π}{3}+\frac{π}{2}}{2}$+φ）=-2，
解得：φ=2kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z，由0＜φ＜π，可得：φ=$\frac{2π}{3}$．
可得：f（x）=2sin（2x+$\frac{2π}{3}$）．
（2）若A=2，ω=2，φ=0，则：f（x）=2sin2x．
数形结合，如图所示．
根据正弦函数的对称性可得，
曲线从x=-$\frac{π}{4}$到x=0与Y轴围成的面积与从x=0到x=$\frac{π}{4}$与Y轴围成的面积相等，
把x轴下方的阴影部分补到x轴上方，
∴函数y=2sin2x的图象与函数y=-2的图象围成一个封闭图形可转化为以2及$\frac{π}{2}$为边长的矩形．
所求的面积S=2×$\frac{π}{2}$=π．

（3）若A=2，ω＞2，φ=$\frac{π}{3}$，则：f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{3}$）．
∴函数周期T=$\frac{2π}{ω}$，
∵函数f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{3}$）图象在区间[0，$\frac{π}{2}$]上仅有4条对称轴，
∴$\frac{3T}{2}≤\frac{π}{2}＜2T$，即可得：$\frac{3}{2}×\frac{2π}{ω}≤\frac{π}{2}＜2×\frac{2π}{ω}$，解得：6≤ω＜8．
故答案为：2sin（2x+$\frac{2π}{3}$），π，6≤ω＜8．

点评 本题着重考查了正弦曲线的对称性和y=Asin（ωx+φ）的图象变换，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式等知识，考查几何图形的面积的求法，考查发现问题解决问题的能力，属于中档题．