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已知直角梯形ABCD和矩形CDEF所在的平面互相垂直,AD⊥DC,AB∥DC,AB=AD=DE=4,DC=8,
(1)证明:BD⊥平面BCF;
(2)设二面角E-BC-D的平面角为α,求sinα;
(3)M为AD的中点,在DE上是否存在一点P,使得MP∥平面BCE?若存在,求出DP的长;若不存在,请说明理由.
考点:与二面角有关的立体几何综合题
专题:综合题,空间位置关系与距离,空间角
分析:(1)证明FC⊥DB,DB⊥BC,可得BD⊥平面BCF;
(2)确定∠EBD二面角E-BC-D的平面角α,可得sinα;
(3)设P(0,0,a),(0≤a≤4),P为DE上一点,求出平面BCE的一个法向量,再求出a=1.推出MP∥平面BCE.
解答: (1)证明:∵面ABCD⊥面CDEF,且矩形CDEF中FC⊥DC,
∴FC⊥面ABCD,FC⊥DB
在直角梯形ABCD中易得DB⊥BC,
∵FC∩BC=C,
∴BD⊥平面BCF(3分)
(2)解:∵FC⊥面ABCD,ED∥FC,∴ED⊥面ABCD
又DB⊥BC,∴EB⊥BC,
∴∠EBD二面角E-BC-D的平面角α,
∴sinα=sin∠EBD=
DE
BE
=
4
4
3
=
3
3
(7分)
(3)以DA,DC,DE分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则
∵M(2,0,0),设P(0,0,a),(0≤a≤4),P为DE上一点,
MP
=(-2,0,a),
设平面BCE的一个法向量
n
=(x,y,z),
x-y=0
x+y-z=0
,取
n
=(1,1,2),
∵MP∥平面BCE,
MP
n
,∴(-2,0,a)•(1,1,2)=-2+2a=0,
∴a=1.
∴当DP=1时,MP∥平面BCE(10分)
点评:本题考查用空间向量求平面间的夹角,直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定,考查空间想象能力,计算能力.
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