Question

设椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦点为F，离心率为

3

3

，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为

4 3

3

．
（1）求椭圆的方程；
（2）设A，B分别为椭圆的左右顶点过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点，若

AC

•

DB

+

AD

•

CB

=8，求k的值．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）先根据椭圆方程的一般形式，令x=c代入求出弦长使其等于

4 3

3

，再由离心率为

3

3

，可求出a，b，c的关系，进而得到椭圆的方程．
（2）直线CD：y=k（x+1），设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），由直线与椭圆消去y得，（2+3k²）x²+6k²x+3k²-6=0，再由韦达定理进行求解．求得

AC

•

DB

+

AD

•

CB

，利用

AC

•

DB

+

AD

•

CB

=8，即可求得k的值．

解答： 解：（1）∵过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为

4 3

3

．
∴

2b2

a

=

4 3

3

，
∵离心率为

3

3

，∴

c

a

=

3

3

，
解得b=

2

，c=1，a=

3

．
∴椭圆的方程为

x2

3

+

y2

2

=1；
（2）直线CD：y=k（x+1），
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
由直线与椭圆消去y得，（2+3k²）x²+6k²x+3k²-6=0，
∴x₁+x₂=-

6k2

2+3k2

，x₁x₂=

3k2-6

2+3k2

，
又A（-

3

，0），B（

3

，0），
∴

AC

•

DB

+

AD

•

CB

=（x₁+

3

，y₁）•（

3

-x₂．-y₂）+（x₂+

3

，y₂）•（

3

-x₁．-y₁）
=6-（2+2k²）x₁x₂-2k²（x₁+x₂）-2k²，
=6+

2k2+12

2+3k2

=8，解得k=±

2

．

点评：本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的简单性质等，考查方程思想．在椭圆中一定要熟练掌握a，b，c之间的关系、离心率、准线方程等基本性质．