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如图:在四棱台ABCD-A1B1C1D1中,DD1垂直底面,且DD1=2,底面四边形ABCD与A1B1C1D1分别为边长2和1的正方形.
(1)求直线DB1与BC1夹角的余弦值;
(2)求二面角A-BB1-C的余弦值.

解:(1)以D为坐标原点,以DA,DB,DC为x轴y轴z轴建立空间直角坐标系.如图①

则各点坐标D(0,0,0)B(2,2.0)B1(1,1,2)C1(0,1,2)
=(1,1,2),=(-2.-1,2)
的夹角为θ,则cosθ===
直线DB1与BC1夹角的余弦值为
(2)如图②

∵直线DB是直线B1B在平面ABCD上的射影,AC⊥DB,
根据三垂线定理,有AC⊥B1B.
过点A在平面ABB1A1内作AM⊥B1B于M,连接MC,MO,
由△AMB≌△CMB,得CM⊥BB1
所以,∠AMC是二面角A-B1B-C的一个平面角.
根据勾股定理,有
∵OM⊥B1B,有


分析:(1)以D为坐标原点,以DA,DB,DC为x轴y轴z轴建立空间直角坐标系,见图①,利用的夹角余弦值求直线DB1与BC1夹角的余弦值.

(2)如图②

直线DB是直线B1B在平面ABCD上的射影则AC⊥DB,根据三垂线定理,有AC⊥B1B.过点A在平面ABB1A1内作AM⊥B1B于M,连接MC,MO,由△AMB≌△CMB,得CM⊥BB1
∠AMC是二面角A-B1B-C的一个平面角,在三角形AMC中求出此角即可
点评:本小题主要考查直线与直线的夹角、二面角及其平面角等有关知识,考查空间想象能力和思维能力,属于中档题
练习册系列答案
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精英家教网如图,在四棱台ABCD-A1B1C1D1中,下底ABCD是边长为2的正方形,上底A1B1C1D1是边长为1的正方形,侧棱DD1⊥平面ABCD,DD1=2.
(1)求证:B1B∥平面D1AC;
(2)求证:平面D1AC⊥平面B1BDD1

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19、如图,在四棱台ABCD-A1B1C1D1中,D1D⊥平面ABCD,底面ABCD是平行四边形,AB=2AD,AD=A1B1,∠BAD=60°.
(Ⅰ)证明:AA1⊥BD;
(Ⅱ)证明:CC1∥平面A1BD.

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(1)求直线DB1与BC1夹角的余弦值;
(2)求二面角A-BB1-C的余弦值.

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(2009•聊城一模)如图,在四棱台ABCD-A1B1C1D1中,下底ABCD是边长为2的正方形,上底A1B1C1D1是边长为1的正方形,侧棱DD1⊥平面ABCD,DD1=2.
(Ⅰ)求证:B1B∥平面D1AC;
(Ⅱ)求二面角B1-AD1-C的余弦值.

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用平行于棱锥底面的平面去截棱锥,则截面与底面之间的部分叫棱台.如图,在四棱台ABCD-A1B1C1D1中,下底ABCD是边长为2的正方形,上底A1B1C1D1是边长为1的正方形,侧棱DD1⊥平面ABCD,DD1=2.
(Ⅰ)求证:B1B∥平面D1AC;
(II)求平面B1AD1与平面CAD1夹角的余弦值.

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