Question

已知函数y=g（x）与f（x）=log_a（x+1）（a＞1）的图象关于原点对称．
（1）写出y=g（x）的解析式；
（2）当x∈[0，1）时，总有f（x）+g（x）≥n成立，求实数n的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设M（x，y）是函数y=g（x）图象上任意一点，则M（x，y）关于原点的对称点为N（-x，-y）．则由N在函数f（x）=log_a（x+1）的图象上，可得-y=log_a（-x+1），由此y=g（x）的解析式．
（2）由条件可得log_a

1+x

1-x

≥n．利用函数的单调性求得log_a

1+x

1-x

的最小值，即可求得实数n的取值范围．

解答：解：（1）设M（x，y）是函数y=g（x）图象上任意一点，则M（x，y）关于原点的对称点为N（-x，-y）．
则由N在函数f（x）=log_a（x+1）的图象上，可得-y=log_a（-x+1），∴y=-log_a（1-x），即y=g（x）的解析式为 g（x）=-log_a（1-x）．
（2）由f（x）+g（x）≥n，得log_a

1+x

1-x

≥n．
设Q（x）=log_a

1+x

1-x

，x∈[0，1），由题意知，只要Q（x）_min≥n即可．
∵Q （x）=log_a（-1+

2

1-x

）在[0，1）上是增函数，∴Q （x）_min=Q（0）=0．
即n≤0为所求．

点评：本题主要考查求函数的解析式，对数函数的图象和性质应用，属于中档题．