Question

已知两个正实数a，b满足a+b≤3，若当

x≥0 y≥0 x+y≤1

时，恒有（x-a）²+（y-b）²≥2，则以a，b为坐标的点（a，b）所形成的平面区域的面积等于

 

．

Answer 1

分析：先依据不等式组

x≥0 y≥0 x+y≤1

，结合二元一次不等式（组）与平面区域的关系画出其表示的平面区域，再利用求最优解的方法，结合题中条件：“恒有（x-a）²+（y-b）²≥2，”得出关于a，b的点（a，b）的区域，最后再据此不等式组表示的平面区域求出面积即可．

解答：解：依据不等式组

x≥0 y≥0 x+y≤1

，结合二元一次不等式（组）与平面区域的关系画出其表示的平面区域，如图中黄色区域，
令z=（x-a）²+（y-b）²，
∵恒有（x-a）²+（y-b）²≥2，
即点（a，b）到可行域的点的距离大于等于

2

．
又两个正实数a，b满足a+b≤3，
点P（a，b）形成的图形是图中红色区域．
∴所求的面积S=2-

π

2

．
故答案为：2-

π

2

．

点评：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．