Question

已知椭圆的左右焦点分别是F₁，F₂，过右焦点F₂且斜率为k的直线与椭圆交于A，B两点．
（1）若k=1，求|AB|的长度、△ABF₁的周长；
（2）若，求k的值．

Answer 1

解：（1）椭圆中a=2，∴△ABF₁的周长4a=8，
由联立得7x²-8x-8=0
∴
（2）设直线方程为y=k（x-1）代入椭圆方程，可得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
∵，∴1-x₁=2（x₂-1）--③
由①③得，
代入②，∴
分析：（1）利用椭圆的定义，可求△ABF₁的周长，直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理可求|AB|的长度；
（2）设直线方程为y=k（x-1）代入椭圆方程，利用韦达定理及向量知识，即可求k的值．
点评：本题考查椭圆的定义，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查向量知识，属于中档题．