Question

给定函数f(x)=

∫

x 0

(2t-m)dt+2m-3（x＞0，m为实常数），g(x)=

5

2

x3，
（Ⅰ）若函数f（x）在[2，4]上的最大值为1，求实数m的取值集合A；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若g（x）≥ax在区间[

2

2

，

2

]上恒成立时实数a的取值集合为B，全集为R，
求（?_RA）∩（?_RB）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据积分公式求出函数f（x），利用f（x）在[2，4]上的最大值为1，即求实数m的取值集合A；
（Ⅱ）根据g（x）≥ax在区间[

2

2

，

2

]上恒成立，建立条件关系，然后利用集合的基本运算进行计算即可．

解答：解：（Ⅰ）函数f(x)=

∫

x 0

(2t-m)dt+2m-3=（t²-mt）|

x 0

+2m-3=x²-mx+2m-3=（x-

m

2

）²-

m2

4

+2m-3，
∵f（2）=1，
∴函数f（x）在[2，4]上的最大值为1，只要对称轴

m

2

≥3，
∴m≥6，
即集合A=[6，+∞）．
当

m

2

＜6，即m＜6时，f_max（x）=f（4）=13-2m=1，解得m=6，不合题意．
（Ⅱ）要使g（x）≥ax在区间[

2

2

，

2

]上恒成立，
只需要a≤(

5

2

x2)min=

5

4

，
故集合B=（-∞，

5

4

]，
∴?_RA=（-∞，6），?_RB=（

5

4

，+∞），
即（?_RA）∩（?_RB）=（

5

4

，6）．

点评：本题主要考查集合的基本运算，以及积分的基本计算，要求熟练掌握函数的积分公式，考查学生的计算能力．