Question

设f（x）=

a

•

b

，

a

=（2cosx，1），

b

=（cosx，

3

sin2x），x∈R．
（I）若f（x）=0且x∈[-

π

3

，

π

3

]，求x的值
（II）g（x）=cos（ωx-

π

3

）+k与f（x）的最小正周期相同，g（x）经过（

π

6

，2），求g（x）的值域以及单调增区间．

Answer 1

分析：（I）由平面向量数量积的坐标表达式，得出f（x）的解析式，将其化为形如Asin（ωx+φ）+k（A、ω、φ、k是常数）的形式，再解方程f（x）=0可得x的值；
（II）由f（x）的周期，得出g（x）的ω值，再解方程g（

π

6

）=2，解出k的值，可以得出g（x）的表达式，最后利用余弦函数的图象与性质可得g（x）的值域以及单调增区间．

解答：解：（I）f（x）=

a

•

b

=2cos2x+

3

sin2x=1+cos2x+

3

sin3x
=2sin(2x+

π

6

) +1
f(x)=0即2sin(2x+

π

6

) +1=0
得sin(2x+

π

6

) =-

1

2

又因为x∈[-

π

3

，

π

3

]，所以-

π

2

≤2x+

π

6

≤

5π

6

可得2x+

π

6

=-

π

6

，所以x=-

π

6

（II）由（I）知f(x)=2sin(2x+

π

6

) +1
因为g（x）与f（x）的最小正周期相同
所以ω=2，又因为g（x）图象经过（

π

6

，2），
∴cos(2×

π

6

-

π

3

)  +k=2
即1+k=2，故k=1
所以g(x)=cos(2x-

π

3

) +1，因此g（x）的值域为[0，2]
再解不等式2kπ-π≤2x-

π

3

≤ 2kπ得，kπ-

π

3

≤x≤ kπ+

π

6

    k∈ Z
所以函数g（x）的单调增区间为[kπ-

π

3

， kπ+

π

6

]，其中k∈Z

点评：本题考查了三角函数的综合题，关键是利用三角恒等变换的公式对解析式进行化简，再由条件进行求角的三角函数值，考查了知识的综合应用能力．