Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中动圆P与圆外切，与圆内切.

（1）求动圆圆心P的轨迹方程；

（2）直线l过点且与动圆圆心P的轨迹交于A、B两点.是否存在面积的最大值，若存在，求出的面积的最大值；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，.

【解析】

（1）设动圆圆心，半径为．利用已知条件转化判断动圆圆心P在以，为焦点的椭圆上，求出然后求解椭圆的方程；

（2）设直线的方程为或（舍）．联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理、弦长公式表示的面积，利用换元法和导数在函数最值中的应用即可求出结果．

（1）设点，动圆的半径为，

由题意知，，，

.

由椭圆定义可知，动圆圆心在以，为焦点的椭圆上，

，，

∴.所以.

由于圆M内切于圆N于点，则.

因此，动圆圆心的轨迹方程为.

（2）因为直线过点，

若直线的方程为，显然构成不了，故舍去；

故可设直线的方程为，

则，整理得.

由.

设点、，

则，.

则

，

因为.

设，则，

则.

设，

所以在区间上为增函数，

所以.所以，

当且仅当时取等号，即.

因此，面积的最大值为.