Question

设函数f（x）=cos2x+2

3

sinxcosx（x∈R）的最大值为M，
（1）若有10个互不相等的正数x_i满足f（x_i）=M，且x_i＜10π（i=1，2，…，10），求x₁+x₂+…+x₁₀的值；
（2）设函数g（x）=f（x+θ），如果g′(

π

6

)=2

3

，求正实数θ的最小值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）首先把函数关系式转化为：f(x)=2sin(2x+

π

6

)，进一步利用最值求出结果．
（2）由（1）的结论，进一步利用导数求出θ的最小值．

解答： 解：（1）f(x)=

3

sin2x+cos2x=2sin(2x+

π

6

)，
由于函数f（x）的最大值为M．
则：M=2
∵f（x_i）=2，
∴2xi+

π

6

=2kπ+

π

2

，
即xi=kπ+

π

6

(k∈Z)
又0＜x_i＜10π，∴k=0，1，…，9，
∴x1+x2+…+x10=(1+2+…+9)π+10×

π

6

=

140

3

π
（2）f(x)=

3

sin2x+cos2x=2sin(2x+

π

6

)
所以g（x）=f(x+θ)=2sin(2x+2θ+

π

6

)
g′(x)=4cos(2x+2θ+

π

6

)
g′(

π

6

)=4cos(

π

3

+2θ+

π

6

)=-4sin2θ=2

3

即：sin2θ=-

3

2

∴θ=

π

3

点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的最值，及等差数列的求和，函数的求导问题及相关的运算．