Question

15．已知在极坐标系中，直线l的方程为ρ（cosθ-sinθ）=1，圆C的方程为ρ²-4ρcosθ+3=0
（1）试判断直线l与圆C的位置关系；
（2）若直线l与圆ρ²-4ρcosθ+a=0相交所得的弦长为$\sqrt{2}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）利用极坐标与普通方程的互化，然后通过圆心到直线的距离与半径的关系，判断直线与圆的位置关系．
（2）求出圆的普通方程，然后利用圆的半径以及弦心距与半弦长的关系，求解a的值．

解答 解：（1）由ρ（cosθ-sinθ）=1得x-y-1=0------1
由ρ²-4ρcosθ+3=0得x²+y²-4x+3=0，即（x-2）²+y²=1------3
圆心到直线的距离$d=\frac{{\sqrt{2}}}{2}＜1$，所以直线与圆相交．------5
（2）由ρ²-4ρcosθ+a=0得x²+y²-4x+a=0即（x-2）²+y²=4-a---7
∵直线l与圆ρ²-4ρcosθ+a=0相交所得的弦长为$\sqrt{2}$，
∴$4-a={（\frac{{\sqrt{2}}}{2}）^2}+|\frac{2-0-1}{{\sqrt{2}}}|$，
∴a=3------10

点评 本题考查极坐标与普通方程的互化，考查计算能力以及圆的位置关系．