Question

已知O为A，B，C三点所在直线外一点，且

OA

=λ

OB

+μ

OC

．数列{a_n}，{b_n}满足a₁=2，b₁=1，且

an=λan-1+μbn-1+1 bn=μan-1+λbn-1+1

（n≥2）．
（Ⅰ）求λ+μ；
（Ⅱ）令c_n=a_n+b_n，求数列{c_n}的通项公式；
（III）当λ-μ=

1

2

时，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（I）首先由A，B，C三点共线，可设

AB

=m

BC

，则

AB

=

OB

-

OA

=m

BC

=m(

OC

-

OB

)，经化简得

OA

=(m+1)

OB

-m

OC

，即可知λ=m+1，μ=-m，进而得λ+μ=1
（II）首先根据已知及λ+μ=1可求出a_n+b_n=（λ+μ）（a_n-1+b_n-1）+2=a_n-1+b_n-1+2，（n≥2），则c_n=c_n-1+2（n≥2），即可求得数列{c_n}的通项公式为c_n=2n+1．
（III）首先由已知条件知要想求出a_n，得先求出an-bn=(λ-μ)(an-1-bn-1)=

1

2

(an-1-bn-1)，(n≥2)，再设令d_n=a_n-b_n，则dn=

1

2

dn-1(n≥2)，即可求出{d_n}是首项为a₁-b₁=1，公比为

1

2

的等比数列，则通项公式为dn=

1

2n-1

，由方程组

an+bn=2n+1 an-bn= 1 2n-1

，进而可求出an=

1

2n

+n+

1

2

．

解答：解：（I）A，B，C三点共线，设

AB

=m

BC

，
则

AB

=

OB

-

OA

=m

BC

=m(

OC

-

OB

)，（2分）
化简得：

OA

=(m+1)

OB

-m

OC

，所以λ=m+1，μ=-m，
所以λ+μ=1．（4分）
（II）由题设得
a_n+b_n=（λ+μ）（a_n-1+b_n-1）+2=a_n-1+b_n-1+2，（n≥2）（6分）
即c_n=c_n-1+2（n≥2），∴{c_n}是首项为a₁+b₁=3，
公差为2的等差数列，通项公式为c_n=2n+1（18分）
（III）由题设得
an-bn=(λ-μ)(an-1-bn-1)=

1

2

(an-1-bn-1)，(n≥2)，（10分）
令d_n=a_n-b_n，则dn=

1

2

dn-1(n≥2)．
所以{d_n}是首项为a₁-b₁=1，公比为

1

2

的等比数列，
通项公式为dn=

1

2n-1

．（12分）
由

an+bn=2n+1 an-bn= 1 2n-1

解得an=

1

2n

+n+

1

2

．（14分）

点评：本题主要利用三点共线的性质、数列的推导方法及数列的叠加进行相关的运算．