Question

如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，它的正视图和俯视图都是直角三角形，图中尺寸单位为cm．
（I）在正视图右边的网格内，按网格尺寸和画三视图的要求，画出三棱锥的侧（左）视图；
（II）证明：CD⊥平面ABD；
（III）按照图中给出的尺寸，求三棱锥A-BCD的侧面积．

Answer 1

分析：（1）根据图形特征，直接做出即可
（2）CD⊥平面ABD，可由线面垂直的判定定理直接证明，要先证CD与面内两条相交线垂直，由题易得；
（3）由题意，三个侧面都是直角三角形，故求出各个面的棱长即可求出各个侧面的面积，进而求出侧面积．

解答：解：（1）如图  
（2）∵AB⊥平面BCD∴AB⊥CD∵俯视图是直角三角形∴CD⊥BD，
∵AB，BD都在面ABD内，且相交于B点，∴CD⊥平面ABD
（3）AB⊥平面BCD，∴AB⊥BC，AB⊥BD，又由（2）得CD⊥平面ABD
∴CD⊥BD由图中所给的尺寸知AB=15，BC=20，CD=10，∴AD=25，BC=10

5

S_侧=S_△ABC+S_△ADC+S_△ABD=150+125+75

5

=275+75

5

（cm²）

点评：本题考查由三视图还原实物图的能力，用线面垂直的判定定理证明线面垂直的能力，以及求棱锥的侧面积的方法，是立体几何中的基本题型．解答本题要注意结合图形作出判断．