【题目】已知函数, ,(其中是自然对数的底数).
(1), 使得不等式成立,试求实数的取值范围.
(2)若,求证: .
【答案】(1)(2)见解析
【解析】试题分析:
(1)问题等价于,分别讨论函数 的性质可得:实数m的取值范围为.
(2) 问题等价于,令,可得的最小值为1.
令,其可看作点与点连线的斜率,可得取得最大值为1.据此即可得.
试题解析:
解:(1)因为不等式等价于,
所以, 使得不等式成立,等价于,即,
当时, ,故在区间上单调递增,所以时, 取得最小值.
又,由于, , ,
所以,故在区间上单调递减,因此时, 取得最大值.
所以,所以.
所以实数的取值范围为.
(2)当时,要证,只要证,
只要证,
只要证,
由于, ,只要证.
下面证明时,不等式成立,
令,则,
当时, , 单调递减;
当时, , 单调递增.
所以当且仅当时, 取得极小值也就是最小值为1.
令,其可看作点与点连线的斜率,
所以直线的方程为,
由于点在圆,所以直线与圆相交或相切.
当直线与圆相切且切点在第二象限时,直线的斜率取得最大值为1.
故时, ; 时, .
综上所述:时时, 成立.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图, 是半圆的直径, 是半圆上除、外的一个动点, 垂直于半圆所在的平面, , , , .
(1)证明:平面平面;
(2)当三棱锥体积最大时,求二面角的余弦值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
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A.24
B.32
C.48
D.64
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