Question

已知向量

a

=（sinx，cosx），

b

=（cosx，sinx-2cosx），0＜x＜

π

2

．
（Ⅰ）若

a

∥

b

，求x；
（Ⅱ）设f（x）=

a

•

b

，
（1）求f（x）的单调增区间；
（2）函数f（x）经过怎样的平移才能使所得的图象对应的函数成为奇函数？

Answer 1

分析：（I）利用向量共线定理及其倍角公式，三角函数的单调性即可得出；
（II）利用数量积、两角和差的正弦公式、单调性、图象的变换即可得出．

解答：解：（I）∵

a

∥

b

，∴sinx（sinx-2cosx）-cos²x=0，sin²x-2sinxcosx-cos²x=0，
∴-cos2x-sin2x=0，∴tan2x=-1．
又∵0＜x＜

π

2

，∴0＜2x＜π，∴2x=

3π

4

，
∴x=

3π

8

．
（II）f（x）=

a

•

b

=sinxcosx+cosx（sinx-2cosx）=sin2x-2cos²x
=sin2x-cos2x-1=

2

sin(2x-

π

4

)-1，
（1）令-

π

2

+2kπ≤2x-

π

2

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，解得，-

π

8

+kπ≤x≤

3π

8

+kπ，
又0＜x＜

π

2

，∴0＜x≤

3π

8

，即（0，

3π

8

是f（x）的单调增区间．
（2）将函数f（x）的图象向上平移1个单位，再向左平移

π

8

个单位，即得函数g（x）=

2

sin2x的图象，而g（x）为奇函数．

点评：熟练掌握向量共线定理及其倍角公式，三角函数的单调性、数量积、两角和差的正弦公式、单调性、图象的变换是解题的关键．