Question

如果loga+

1

2

（a²+1）≤loga+

1

2

2a，则实数a的取值范围是（　　）

• A、（

  1

  2

  ，+∞）
• B、（-∞，

  1

  2

  ）
• C、（3，+∞）
• D、（0，

  1

  2

  ）∪{1}

Answer 1

考点：指、对数不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：探究底数的取值范围，依据对数函数的单调性分类解不等式求出参数a的范围．

解答： 解：当a+

1

2

＞1，a＞

1

2

时，对数函数是增函数，
由loga+

1

2

（a²+1）≤loga+

1

2

2a，
得1+a²≤2a，a＞

1

2

，解得a=1．
因为a＞0，所以当

1

2

＜a+

1

2

＜1，0＜a＜

1

2

时，相关的函数是减函数，由loga+

1

2

（a²+1）≤loga+

1

2

2a，
得1+a²≥2a，恒成立，
综上，正实数a的取值范围是a∈（0，

1

2

）∪{1}．
故选：D．

点评：考查分类讨论的思想方法与解对数不等式，对数的单调性，题目看起来简单，实则有一定的难度．