Question

（2010•昆明模拟）过抛物线y²=ax（a＞0）焦点F作斜率为1的直线交抛物线于P₁、P₂两点，以P₁P₂为直径的圆心M到准线的距离为8，则此圆的方程是（　　）

A．（x-6）²+（y-4）²=64

B．（x-4）²+（y-6）²=64

C．（x-2）²+（y-3）²=16

D．（x-3）²+（y-2）²=16

Answer 1

分析：由抛物线的方程表示出焦点F的坐标及准线方程，表示出过F且斜率为1的直线方程，与抛物线解析式联立组成方程组，消去y得到关于x的方程，设P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），利用韦达定理表示出x₁+x₂，利用线段中点坐标公式表示出M的横坐标，根据M到准线的距离为8列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，确定出直线方程及M的横坐标，求出M的纵坐标，即为圆心坐标，由两点间的距离公式求出|P₁P₂|的长，其一半即为圆的半径，写出圆的标准方程即可．

解答：解：由抛物线y²=ax（a＞0），得到焦点F（

a

4

，0），准线为x=-

a

4

，
则过焦点斜率为1的直线方程为y=x-

a

4

，
与抛物线方程联立，消去y得：（x-

a

4

）²=ax，即16x²-24ax+a²=0，
设P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），可得x₁+x₂=

3a

2

，
∴线段P₁P₂的中点M横坐标为

3a

4

，
∴M到准线的距离d=

3a

4

-（-

a

4

）=a=8，
∴直线方程为y=x-2，M横坐标为6，
将x=6代入直线方程，解得y=4，
∴M（6，4），
又|P₁P₂|=x₁+x₂+

a

2

=16，
∴圆M的半径为8，
则所求圆的方程为（x-6）²+（y-4）²=64．
故选A

点评：此题考查了圆的标准方程，涉及的知识有：抛物线的简单性质，韦达定理，以及中点坐标公式，其中根据题意确定出圆心与半径是解本题的关键．