Question

4．已知x∈[-$\frac{2π}{3}$，$\frac{π}{6}$]，求函数f（x）=3cos²x+5sinx-4的值域．

Answer 1

分析 由题意可得t=sinx∈[-1，$\frac{1}{2}$]，换元可得y=-3t²+5t-1，由二次函数区间的最值可得．

解答 解：∵x∈[-$\frac{2π}{3}$，$\frac{π}{6}$]，∴t=sinx∈[-1，$\frac{1}{2}$]，
对已知函数f（x）=3cos²x+5sinx-4换元可得：
y=3（1-t²）+5t-4=-3t²+5t-1，
由二次函数可知函数y在t∈[-1，$\frac{1}{2}$]单调递增，
∴当t=-1时，函数取最小值-9，
当t=$\frac{1}{2}$时，函数取最大值$\frac{3}{4}$，
∴原函数的值域为[-9，$\frac{3}{4}$]．

点评 本题考查三角函数的最值，换元转化为二次函数区间的最值是解决问题的关键，属基础题．