【题目】已知向量 
， 
,函数
的图象过点
，点
与其相邻的最高点的距离为
.
（1）求
的单调递增区间；
（2）计算
；
（3）设函数
，试讨论函数
在区间
上的零点个数.
【答案】(1) 
.(2) 2018. (3)当
或
时，函数
在
上无零点；当
或
时，函数
在
上有一个零点；当
时，函数
在
有两个零点.
【解析】试题分析：(1)根据平面向量数量积的坐标表示、二倍角公式和与辅助角公式可得
,根据
的图象过点
，点
与其相邻的最高点的距离为
，确定
，从而根据正弦函数的单调性可得结果;(2)根据特殊角的三角函数及周期性可得结果；（3）
,函数
在区间
上的零点个数，即为函数
的图象与直线
在
上的交点个数.在同一直角坐标系内作出这两个函数的图象，几何图形可得结果.
试题解析：(1) 
向量
， 
， 
点
为函数
图象上的一个最高点， 
点
与其相邻的最高点的距离为
， 
， 
函数
图象过点
， 
， 
， 
，由
，得
， 
的单调增区间是
.
(2) 由（1）知
的周期为
，且
， 
，而
.
(3) 
,函数
在区间
上的零点个数，即为函数
的图象与直线
在
上的交点个数.在同一直角坐标系内作出这两个函数的图象如图所示，
由图象可知，①当
或
时，函数
的图象与直线
在
上的无公共点，即函数
无零点；②当
与
时，函数
的图象与直线
在
上有一个公共点，即函数
有一个零点；③当
时，函数
的图象与直线
在
上有两个公共点，即函数
有两个零点，综上，当
或
时，函数
在
上无零点；当
或
时，函数
在
上有一个零点；当
时，函数
在
有两个零点.
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【题目】设函数
.
（Ⅰ）若
在
处的切线与直线
平行，求
的值；
（Ⅱ）讨论函数的单调区间；
（Ⅲ）若函数
的图象与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为
，证明
.
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【题目】(本题满分15分)已知椭圆
：
过点
，离心率为
.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设
分别为椭圆的左、右焦点，过
的直线
与椭圆交于不同两点
，记
的内切圆的面积为
，求当取最大值时直线的方程，并求出最大值．
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【题目】某商店为了更好地规划某种商品进货的量，该商店从某一年的销售数据中，随机抽取了
组数据作为研究对象，如下图所示（
（吨）为该商品进货量， 
（天）为销售天数）：
（Ⅰ）根据上表数据在下列网格中绘制散点图：
（Ⅱ）根据上表提供的数据，求出
关于
的线性回归方程
；
（Ⅲ）根据（Ⅱ）中的计算结果，若该商店准备一次性进货该商品
吨，预测需要销售天数；
参考公式和数据： 
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【题目】在对人们休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人，女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动．
（Ⅰ）根据以上数据建立一个2×2列联表；
（Ⅱ）能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为性别与休闲方式有关系？
附： 
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【题目】已知点
，点
在
轴上，点
在
轴的正半轴上，点
在直线
上，且满足
（Ⅰ）当点
在
轴上移动时，求点
的轨迹
的方程；
（Ⅱ）过点
做直线
与轨迹
交于
两点，若在
轴上存在一点
，使得
是以点
为直角顶点的直角三角形，求直线
的斜率
的取值范围.
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【题目】已知椭圆
的离心率为
，以
为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线
相切.
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）已知点
，和平面内一点
，过点
任作直线
与椭圆
相交于
两点，设直线
的斜率分别为
，
，试求
满足的关系式.
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