Question

现从放有标号分别为数字1、2、3、4、5的5 张卡片的盒子中，有放回地先后取两张卡片，设两卡片的标号分别为x，y，且设ξ=|x-3|+|x-y|．
（1）求随机变量ξ的最大值，并求取得此最大值的概率；
（2）求随机变量ξ的分布列及其期望．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意可得：|x-3|≤2，|x-y|≤4，即可得到ξ的最大值为6，进而得到x与y的取值共有两种情况，再结合等可能事件的概率公式得到答案．
（2）由题意可得：ξ的所有可能取值是0，1，2，3，4，5，6，再分别求出其发生的概率，进而得到ξ的分布列与其数学期望．
解答：解：（1）由题意可得：|x-3|≤2，|x-y|≤4，
∴ξ=|x-3|+|x-y|的最大值为6，
此时有x=1，y=5，或者x=5，y=1，共有两种情况，
故所求事件的概率为P==．…5（分）
（2）由题意可得：ξ的所有可能取值是0，1，2，3，4，5，6．
∴P（ξ=0）=，P（ξ=1）==，P（ξ=2）=，P（ξ=3）=，P（ξ=4）=，P（ξ=5）=，P（ξ=6）=，
∴其分布列为：

ξ		1	2	3	4	5	6
P

∴ξ的数学期望Eξ=+=．    …10（分）
点评：本题主要考查等可能事件的概率公式，以及离散型随机变量的分布列与数学期望，在求ξ取值发生的概率时要注意分类讨论要有规律，分类做到不重不漏，此题考查形式的运算能力．