Question

18．设关于x的不等式x（x-a-1）＜0（a∈R）的解集为M，不等式x²-2x-3≤0的解集为N．
（1）当a=1时，求集合M，N；
（2）若M∪N=N，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）a=1时，求出对应不等式的解集，即得M、N；
（2）由M∪N=N得出M⊆N，讨论a的取值，求出M⊆N时a的取值范围．

解答 解：（1）当a=1时，由已知得x（x-2）＜0，
解得0＜x＜2，
所以M={x|0＜x＜2}；…（3分）
又由已知得（x+1）（x-3）＜0，
解得-1＜x＜3，
所以N={x|-1＜x＜3}；…（6分）
（2）因为M∪N=N，所以M⊆N，…（8分）
①若a=-1时，M=∅，显然有M⊆N，所以a=1成立；…（9分）
②若a＜-1时，因为a+1＜0，所以M={x|a+1＜x＜0}；
因为M⊆N，所以-1≤a+1＜0，解得-2≤a＜-1；…（11分）
③若a＞-1时，因为a+1＞0，所以M={x|0＜x＜a+1}；
因为M⊆N，所以0＜a+1≤3，解得-1＜a≤2；…（13分）
综上所述，a的取值范围是[-2，2]．…（14分）

点评 本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，是综合性题目．