Question

已知：平面α∩平面β=α，平面α∩平面γ=b，平面γ∩平面β=c且a、b、c不重合．求证：a、b、c交于一点或两两平行．

Answer 1

证明：如图，
若a、b、c中存在两条直线相交，不妨设a∩b=P，
则P∈a，P∈b，
∵α∩β=a，∴a?α，则P∈α，
α∩γ=b，∴b?γ，则P∈γ，
∴P在α与γ的交线上，即P∈c．
∴a、b、c交于一点；
若a、b、c中任何两条直线都不相交，
∵a?α，b?α，根据同一平面内两条直线不相交则平行，
∴a∥b，同理b∥c．
∴a∥b∥c．
综上，平面α∩平面β=a，平面α∩平面γ=b，平面γ∩平面β=c且a、b、c不重合，则a、b、c交于一点或两两平行．
分析：题目给出了三个平面两两相交、有三条交线，且三条交线不重合，证明时可从三条交线是否存在两条相交入手，假若有两条相交，可以证明两条直线的交点一定经过第三条直线，假若任何两条直线都不相交，根据平面内两条直线平行的定义可得三条交线相互平行．
点评：本题考查了平面的基本性质及其推论，公理3是用来证明点共线及线过同一点的理论依据，本题还考查了分类讨论的数学思想，考查了学生的空间想象和思维能力，此题是中档题．