Question

如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，BA=BC 把△BAC沿AC折起到△PAC的位置，使得点P在平面ADC上的正投影O恰好落在线段AC上，如图2所示，点E，F分别为线段PC，CD的中点．
（I） 求证：平面OEF∥平面APD；
（II）求直线CD⊥与平面POF
（III）在棱PC上是否存在一点M，使得M到点P，O，C，F四点的距离相等？请说明理由．

Answer 1

解：（I）∵点P在平面ADC上的正投影O恰好落在线段AC上，
∴PO⊥平面ABC，
∴PO⊥AC．
∵AB=BC，
∴O是AC的 中点，
∴OE∥PA．
同理OF∥AD．
又OE∩OF=O，PA∩AD=A，
∴平面OEF∥平面PDA．
（II）∵OF∥AD，AD⊥CD，
∴OF⊥CD，
又PO⊥平面ADC，CD?平面ADC，
∴PO⊥CD，
又OF∩PO=O，
∴CD⊥平面POF．
（III）存在，事实上记点E为M即可，
∵CD⊥平面POF，PF?平面POF，
∴CD⊥PF，
又M为PC中点，∴EF=，
同理，在直角三角形POC中，EP=EC=OE=，
∴点E到四个点P，O，C，F的距离相等．
分析：（Ⅰ）利用面面垂直的性质定理可得PO⊥平面ABC，再利用等腰三角形的性质可得O是AC的 中点，利用三角形的中位线定理即可得出OE∥PA，OF∥AD，再利用面面平行的判定定理即可证明；
（Ⅱ）线线平行的性质可得OF⊥CD，利用线面垂直的性质定理可得PO⊥CD，再利用线面垂直的判定定理即可证明；
（Ⅲ）利用线面垂直的性质定理可得CD⊥PF，再利用直角三角形的斜边上中线的性质即可证明．
点评：熟练掌握面面垂直的性质定理、等腰三角形的性质、三角形的中位线定理、面面平行的判定定理、线线平行的性质、线面垂直的判定与性质定理、直角三角形的斜边上中线的性质是解题的关键..