Question

5．设函数f（x）=|1-$\frac{1}{x}$|（x＞0）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）是否存在正实数a，b（a＜b），使函数f（x）的定义域为[a，b]时值域为[$\frac{a}{6}$，$\frac{b}{6}$]？若存在，求a，b的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）化为分段函数，根据y=$\frac{1}{x}$的单调性，即可判断f（x）的单调区间；
（2）假设存在符合题设的正实数a，b，分三种情况0＜a＜b≤1、0＜a＜1＜b、1＜a＜b，分别求出a，b的值．

解答 解：（1）f（x）=|1-$\frac{1}{x}$|=$\left\{\begin{array}{l}{1-\frac{1}{x}，x≥1}\\{\frac{1}{x}-1，0＜x＜1}\end{array}\right.$，
当x≥1时，函数f（x）=1-$\frac{1}{x}$为增函数，
当0＜x＜1时，函数f（x）=$\frac{1}{x}$-1为减函数，
∴f（x）在（0，1）上单调递减，在[1，+∞）单调递增，
（2）假设存在符合题设的正实数a，b，那么有如下三种情况：
若0＜a＜b≤1时有$\left\{\begin{array}{l}{f（a）=1-\frac{1}{a}=\frac{b}{6}}\\{f（b）=1-\frac{1}{b}=\frac{a}{6}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{6a-6=ab}\\{6b-6=ab}\end{array}\right.$，解得a=b，与a＜b矛盾．     
若0＜a＜1＜b时有f（1）=0∈[$\frac{a}{6}$，$\frac{b}{6}$]，那么a≤0＜b，这与a＞0矛盾．   
若1＜a＜b时有$\left\{\begin{array}{l}{f（a）=1-\frac{1}{a}=\frac{a}{6}}\\{f（b）=1-\frac{1}{b}=\frac{b}{6}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{6a-6={a}^{2}}\\{6b-6={b}^{2}}\end{array}\right.$a，b是方程x²-6x+6=0的两个根，
解得 a=3-$\sqrt{3}$，b=3+$\sqrt{3}$，
综上，存在a=3-$\sqrt{3}$，b=3+$\sqrt{3}$满足题意．

点评 本题主要考函数的单调区间，利用复合函数判断函数的单调性，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．