精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
6.自双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>0,b>0)的左、右焦点 F1、F2分别向两条渐近线作垂线,垂足分别为A、B,连接AB,若梯形ABF2F1的面积为$\frac{3}{2}$,且ab=1,则双曲线的离心率为$\sqrt{2}$.

分析 求出双曲线的焦点和渐近线方程,联立直线方程,可得垂足B的坐标,及A的坐标,运用梯形的面积公式和离心率公式,计算即可得到所求.

解答 解:双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的焦点为F1(-c,0),F2(c,0),
渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x,
由F2向渐近线y=$\frac{b}{a}$x作垂线交点为B,
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{b}{a}x}\\{y=-\frac{a}{b}(x-c)}\end{array}\right.$解得B($\frac{a}{bc}$,$\frac{1}{c}$),
即有A(-$\frac{a}{bc}$,$\frac{1}{c}$),
则梯形ABF2F1的面积为$\frac{1}{2}$(2c+$\frac{2a}{bc}$)•$\frac{1}{c}$=$\frac{3}{2}$,
即为2a=bc2
又ab=1,即a=$\frac{1}{b}$,
c2=a2+b2
可得a=b=1,c=$\sqrt{2}$,
即有e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$.
故答案为:$\sqrt{2}$.

点评 本题考查双曲线的方程和性质,主要考查渐近线方程和离心率的求法,考查直线方程求交点,属于中档题.

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

16.已知函数f(x)=x2,g(x)=ax+3(a∈R),记函数F(x)=f(x)-g(x).
(1)判断方程F(x)=0的实根的个数;
(2)设F(x)在区间[1,2]的最小值为g(a),求g(a)的表达式;
(3)若函数|F(x)|在[0,1]上是减函数,求实数a的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

17.如图,水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为4,且侧棱垂直于底面,正视图是边长为4的正方形,则三棱柱的左视图面积为(  )
A.8$\sqrt{3}$B.2$\sqrt{2}$C.$\sqrt{3}$D.4$\sqrt{3}$

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

14.已知f(x)是定义在R上周期为2的奇函数,当x∈(0,1)时,f(x)=3x-1,则f(log35)=(  )
A.$\frac{4}{5}$B.-$\frac{4}{5}$C.4D.$\frac{4}{9}$

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

1.已知f(x)+f(-x)=8,f(lg(log210))=5,则f(lg(lg2))=(  )
A.-5B.-1C.3D.4

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

11.设函数f(x)=loga(1+x)-loga(1-x)的图象经过点(-$\frac{1}{2}$,-1).
(1)求实数a;
(2)判断函数f(x)的奇偶数,并写出f($\frac{1}{2}$)的值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

18.有一组实验数据如表:
t1.993.04.05.16.12
y1.504.047.5012.0018.01
给出下列函数:①v=log${\;}_{\frac{1}{2}}$t;②v=$\sqrt{t}$;③v=($\frac{3}{2}$)t④y=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$;
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律,其中最接近的一个是④(填序号).

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

15.设f(x)=$\frac{1}{2}$x2-mx+3lnx,g(x)=$\frac{2x+m}{{x}^{2}+3}$,a、b是f(x)的极值点,且0<a<b,
(1)求实数m的取值范围;
(2)指出g(x)在区间[-b,-a]上的单调性,并证明;
(3)设g(x)在区间[-b,-a]上的最大值比最小值大$\frac{2}{3}$,讨论方程f(x)=k的实数解个数.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

16.已知集合A={x|x2-3x≤0},B={x|2a≤x≤a+2}
(1)当a=1时,求A∩B;
(2)当集合A,B满足B?A时,求实数a的取值范围.

查看答案和解析>>

同步练习册答案