Question

【题目】已知数列{bn}的前n项和是Sn ， 且bn=1﹣2Sn ， 又数列{an}、{bn}满足点{an ， 3 }在函数y=（ ）x的图象上．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）若cn=anbn+ ，求数列{an}的前n项和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：当n≥2时，bn=1﹣2Sn，bn﹣1=1﹣2Sn﹣1，

两式相减得：bn﹣bn﹣1=﹣2bn，即bn= bn﹣1，

又∵b1=1﹣2S1，即b1= ，

∴数列{bn}是首项、公比均为 的等比数列，

∴bn= = ；

∵点{an，3 }在函数y=（ ）x的图象上，

∴3 = ，即 = ，

∴数列{an}的通项公式an=2n﹣1

（2）解：由（1）可知cn=anbn+ =（2n﹣1） +3n，

记数列{anbn}的前n项和为Pn，数列{ }的前n项和为Qn，

∵Pn=1 +3 +…+（2n﹣1） ，

Pn=1 +3 +…+（2n﹣3） +（2n﹣1） ，

∴ Pn= +2（ + +…+ ）﹣（2n﹣1）

= +2 ﹣（2n﹣1）

= ﹣ ，

∴Pn=1﹣（n+1） ，

又∵Qn= = ，

∴Tn=Pn+Qn

=1﹣（n+1） +

= ﹣ ﹣

【解析】（1）当n≥2时，利用bn=1﹣2Sn与bn﹣1=1﹣2Sn﹣1作差，整理得bn= bn﹣1 ， 进而可知数列{bn}是首项、公比均为 的等比数列；通过将点{an ， 3 }代入函数解析式y=（ ）x中，进而计算可得结论；（2）通过（1）可知cn=（2n﹣1） +3n ， 通过记数列{anbn}的前n项和为Pn ， 数列{ }的前n项和为Qn ， 利用错位相减法计算可知Pn=1﹣（n+1） ，利用等比数列的求和公式计算可知Qn= ，相加即得结论．
【考点精析】本题主要考查了数列的前n项和和数列的通项公式的相关知识点，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能正确解答此题．