Question

如图，平面ABCD⊥平面ADEF，其中ABCD为矩形，ADEF为梯形，AF∥DE，AF⊥FE，AF＝AD＝2DE＝2，M为AD的中点．

(1)证明：MF⊥BD；
(2)若二面角A－BF－D的平面角的余弦值为，求AB的长．

Answer 1

（1）见解析    （2）

(1)证明 由已知得△ADF为正三角形，所以MF⊥AD，
因为平面ABCD⊥平面ADEF，平面ABCD∩平面ADEF＝AD，
MF?平面ADEF，所以MF⊥BD.
(2)设AB＝x，以F为原点，AF，FE所在直线分别为x轴，y轴建立如图所示的空间直角坐标系，则F(0,0,0)，A(－2,0,0)，D(－1，，0)，B(－2,0，x)，所以＝(1，－，0)，＝(2,0，－x)．
因为EF⊥平面ABF，所以平面ABF的法向量可取n₁＝(0,1,0)．

设n₂＝(x₁，y₁，z₁)为平面BFD的法向量，则
可取n₂＝.
因为cos〈n₁，n₂〉＝＝，
得x＝，所以AB＝.