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如图,平面ABCD⊥平面ABEF,ABCD是正方形,ABEF是矩形,且AF=
12
AD=a
,G是EF的中点.
(1)求证:平面AGC⊥平面BGC;
(2)求二面角B-AC-G的大小.
分析:(1)由G是矩形ABEF的边EF的中点,我们由已知中ABEF是矩形,且 AF=
1
2
AD=2
,得到AG,及BG的长,根据勾股定理,我们可得到AG⊥BG,又由平面ABCD⊥平面ABEF,ABCD是正方形,结合面面垂直的性质,我们易得到BC⊥平面ABEF,进而由线面垂直的定义得到BC⊥AG,由线面垂直及面百垂直的判定定理,即可得到平面AGC⊥平面BGC;
(2)二面角B-AC-G的大小,先作出部署二面角的平面角,作GM⊥AB于M,则M为AB中点,M为G的射影,作GH⊥AC于H,连接MH,从而可知所求角∠GHM,进而可求.
解答:解:(1)证明:∵G是矩形ABEF的边EF的中点
∴AG=BG=
22+22
=2
2

∴AG2+BG2=AB2
∴AG⊥BG
又∵平面ABCD⊥平面ABEF,平面ABCD∩平面ABEF=AB,
且BC⊥AB
∴BC⊥平面ABEF,
又∵AG?平面ABEF,
∴BC⊥AG
∵BC∩BG=B
∴AG⊥平面BGC
∵AG?平面AGC
∴平面AGC⊥平面BGC;
 (2)作GM⊥AB于M,则M为AB中点,M为G的射影
作GH⊥AC于H,连接MH
则所求角∠GHM
Rt△ACB中,GM=a,MH=
1
2
BD=
2
a

∠GHM=arctan
2
2
点评:本题以面面垂直为载体,考查面面垂直的判定与行政,考查面面角,关键是正确运用定理,寻找线面垂直.
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12
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1
2
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3
2
AD
,G是EF的中点,则GB与平面AGC所成角的正弦值为(  )
A、
6
6
B、
21
6
C、
7
7
D、
21
7

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