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5.已知函数f(x)=2sin(ωx),其中常数ω>0;
(1)若y=f(x)在$[-\frac{π}{4},\frac{2π}{3}]$上单调递增,求ω的取值范围;
(2)令ω=4,将函数y=f(x)的图象向左平移$\frac{π}{12}$个单位,再向上平移1个单位,得到函数y=g(x)的图象,区间[a,b](a,b∈R且a<b)满足:y=g(x)在[a,b]上至少含有20个零点,在所有满足上述条件的[a,b]中,求b-a的最小值.

分析 (1)根据三角函数的单调性的性质建立不等式的关系进行求解即可.
(2)根据三角函数的图象关系,求出函数的解析式,利用三角函数的性质进行求解即可.

解答 解:(1)因为ω>0,根据题意有 $\left\{{\begin{array}{l}{-\frac{π}{4}ω≥-\frac{π}{2}}\\{\frac{2π}{3}ω≤\frac{π}{2}}\end{array}}\right.⇒0<ω≤\frac{3}{4}$….(6分),
(2)f(x)=2sin(4x),$g(x)=2sin(4(x+\frac{π}{12}))+1=2sin(4x+\frac{π}{3})+1$$g(x)=0⇒sin(4x+\frac{π}{3})=-\frac{1}{2}⇒x=\frac{1}{2}kπ-\frac{π}{8}$或$x=\frac{1}{2}kπ+\frac{5}{24}π,k∈Z$,
即g(x)的零点相离间隔依次为$\frac{π}{3}$和$\frac{π}{6}$,
故若y=g(x)在[a,b]上至少含有20个零点,则b-a的最小值为$10×\frac{π}{6}+9×\frac{π}{3}=\frac{14π}{3}$…(14分)

点评 本题主要考查三角函数的单调性和函数零点的应用,根据条件建立不等式关系是解决本题的关键.

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14.下列结论:
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④设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,则当$\frac{xy}{z}$取得最大值时,$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$-$\frac{2}{z}$的最大值为1.
其中正确结论的序号为①③④.(把你认为正确结论的序号都填上)

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