Question

某班50名学生在一模数学考试中，成绩都属于区间[60，110]．将成绩按如下方式分成五组：
第一组[60，70）；第二组[70，80）；第三组[80，90）；第四组[90，100）；第五组[100，110]．
部分频率分布直方图如图所示，及格（成绩不小于90分）的人数为20．
（1）在成绩属于[70，80）∪[90，100]的学生中任取两人，成绩记为m，n，求|m-n|＞10的概率；
（2）在该班级中任取4人，其中及极格人数记为随机变量X，写出X的分布列（结果只要求用组合数表示），并求出期望E（X）．

Answer 1

分析：（1）欲求“|m-n|＞10的概率”，即两人的分差大于10，可根据直方图得出分别在[70，80）和[90，100]中的人数，再求出在这两个区间中各取一人的方法数，利用组合数解决即可；
（2）依据及格人数X的可能值是以0，1，2，3，4，分别求出它们的概率得分布列，再根据期望的公式，代入其公式求解．

解答：解：（1）由图得，成绩在[100，110]的人数为4人，
所以在[90，100）的人为16人，
所以在[90，100）的频率为0.32，
在[80，90）的频率为0.38．（2分）
∴由题得：成绩在[70，80）的有8人，
在[90，100）的为16人．
所以|m-n|＞10的概率为

C 1 8 C 1 16

C 2 24

=

32

69

．（6分）
（2）X的分布列为：
（9分）
随机变量X服从的是M=50，N=20，n=4的超几何分布，所以期望E(X)=4×

20

50

=

8

5

．（12分）

点评：本题考查频率分布直方图的相关知识．直方图中的各个矩形的面积代表了频率，所以各个矩形面积之和为1．同时也考查了分布列及数学期望的求法，属于中档题．