Question

定义在（-∞，+∞）上的偶函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），且在[-1，0]上是增函数，下面是关于f（x）的判断：
（1）f（x）的周期为2；  
（2）f（x）关于点P（

1

2

，0）对称    
（3）f（x）的图象关于直线x=1对称；
（4）f（x）在[0，1]上是增函数；
其中正确的判断的个数为（　　）

A．1个

B．2 个

C．3个

D．4个

Answer 1

分析：由条件求得f（x+2）=f（x），函数的周期为2，函数的图象每隔半个周期出现一条对称轴，f（x）的图象关于直线x=1对称，函数在[0，1]上是减函数，f（

1

2

）=0，f（x）的图象关于点P（

1

2

，0）对称，综上可得结论．

解答：解：定义在（-∞，+∞）上的偶函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），故有f（x+2）=f（x），
故函数的周期为2，故函数的图象的对称轴有无数个，每隔半个周期出现一条对称轴，
故f（x）的图象关于直线x=1对称，故（1）、（3）正确．
再由函数f（x）在[-1，0]上是增函数，可得函数在[0，1]上是减函数，故（4）不正确．
再由f（x）=-f（x+1），可得f（

1

2

）=-f（

3

2

）=-f（

3

2

-2）=-f（-

1

2

）=-f（

1

2

），
故有f（

1

2

）=0，故f（x）的图象关于点P（

1

2

，0）对称，故（2）正确．
综上可得，（1）、（2）、（3）正确，（4）不正确，
故选C．

点评：本题主要考查函数的奇偶性、单调性和周期性的应用，函数的图象和性质，属于基础题．