Question

直线L：x+2y-3=0与圆C：x²+y²+x-6y+m=0有两个交点A、B，O为坐标原点，若

OA

⊥

OB

，则m的值是（　　）

• A．2
• B．-1
• C．3
• D．

  2

  2

Answer 1

分析：由圆C与直线L的方程联立，消去x整理成关于y的一元二次方程，设出A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点坐标，

OA

• 

OB

=x₁•x₂+y₁•y₂，由韦达定理可以求得答案．

解答：解：由题意知，直线L：x+2y-3=0与圆C：x²+y²+x-6y+m=0，
由

x2+y2+x-6y+m=0 x+2y-3=0

，消去x，得5y²-20y+12+m=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则 y1+y2=

20

5

=4，y1•y2=

12+m

5

，
x₁•x₂=（3-2y₁）•（3-2y₂）=4y₁•y₂-6（y₁+y₂）+9．
∴

OA

•

OB

=x₁•x₂+y₁•y₂=5y₁•y₂-6（y₁+y₂）+9=12+m-6×4+9=0，
解得m=3
故选C．

点评：本题考查圆的方程，以及直线与圆相交的性质，数量积判断两个平面向量的垂直关系，考查方程思想．属于基础题．